数项级数

正项级数

比较原则

设正项级数 $$sum u_n, sum v_n$$, $$EE N, s.t. n>N$$ 时, $$u_n<=v_n$$,
若 $$sum v_n$$ 收敛, 则 $$sum u_n$$ 收敛.

比较原则推论

$$lim_(n->oo) u_n/v_n=l$$
a. 当 $$l=0$$ 时, 若 $$sum v_n$$ 收敛, 则 $$sum u_n$$ 收敛.
b. 当 $$0<l<+oo$$ 时, $$sum v_n$$, $$sum u_n$$ 同敛态.
c. 当 $$l=+oo$$ 时, 若 $$sum v_n$$ 发散, 则 $$sum u_n$$ 发散.

比式判别法(达朗贝尔判别法)

设 $$sum u_n$$ 为正项级数,存在某正整数 $$N_0$$ 及常数 $$q (0<q<1)$$,
a. $$AA n>N_0$$, 有 $$u_(n+1)/u_n <=q$$, 则级数 $$sum u_n$$ 收敛.
b. $$AA n>N_0$$, 有 $$u_(n+1)/u_n >=1$$, 则级数 $$sum u_n$$ 发散.

极限形式

$$lim_(n->oo) u_(n+1)/u_n=q$$
a. 若 $$q<1$$, 则级数收敛
b. 若 $$q=1$$, 无法确定
c. 若 $$q>1$$, 则级数发散

根式判别法(柯西判别法)

正项级数 $$sum u_n$$, 若存在正整数 $$N_0$$ 及正常数 $$l_0$$,
a. $$root(n)(u_n)<=l<1$$, 则级数收敛.
b. $$root(n)(u_n)>=1$$, 则级数发散.

极限形式

$$lim_(n->oo) root(n)(u_n)=l$$,
a. 若 $$l<1$$, 则级数收敛
b. 若 $$l=1$$,
c. 若 $$l>1$$, 则级数发散

积分判别法

设 $$f$$ 为 $$[1,+oo)$$ 上非负减函数, 则正项级数 $$sum f(n)$$ 与反常积分 $$int_1^(+oo) {:f(x):}dx$$ 同时收敛或发散.

拉贝判别法

设正项级数 $$sum u_n$$, 存在正整数 $$N_0$$ 及常数 $$r$$, 若 $$AA n>N_0$$, 成立
a. $$n(1-u_(n+1)/u_n)>=r>1$$, 则级数收敛.
b. $$n(1-u_(n+1)/u_n<=1$$, 则级数发散.

一般项级数

交错级数

设交错级数 $$u_1-u_2+u_3-u_4+…+(-1)^(n+1)u_n+…$$
由莱布尼茨判别法, 若满足
a. 数列 $${u_n}$$ 单调递减
b. $$lim_(n->oo) u_n=0$$
则级数收敛.
条件收敛、绝对收敛的概念