泛函分析笔记

度量空间

度量空间子集的基本概念

设一个非空集合 $$X$$ , $$(X,rho)$$为一个度量空间, $$M$$ 为 $$X$$ 的一个子集,

  • 内点: 若存在 $$x_0$$ 的邻域 $$U(x_0)$$ ,使得 $$U(x_0)subM$$, 则 $$x_0$$ 称为 $$M$$ 的内点.
  • 外点: $$M^c$$ 的内点为 $$M$$ 的外点.
  • 边界点: 集合 $$X$$ 中既非内点,也非外点的点称为 $$M$$ 的边界点.
  • 聚点(极限点): 若 $$x_0$$(可以不属于 $$M$$)的任一邻域内都含有至少一个异于 $$x_0$$ 的属于 $$M$$ 的点, 则 $$x_0$$ 为 $$M$$ 的一个聚点或极限点..
  • 孤立点: 若 $$x_0 in M$$ 但不是聚点, 则 $$x_0$$ 为 $$M$$ 的孤立点.
  • 内部($$M^o$$): $$M$$ 的内点组成的集合.
  • 边界($$del M$$): 边界点组成的集合, 或 $$del M=M-M^o$$.
  • 导集($$M’$$): 聚点组成的集合.
  • 闭包($$bar M$$): $$bar M=MuuM’$$, 或包含 $$M$$ 的最小闭集.
  • 接触点: $$bar M$$ 中的点称为 $$M$$ 中的接触点.
  • 开集: 若 $$M=M^o$$, 则 $$M$$ 是开集.
  • 闭集: 若 $$M=M’$$, 则 $$M$$ 是闭集.
  • 稠密集: 若 $$X=bar M$$, 则 $$M$$ 称为 $$X$$ 中的稠密集.
  • $$X$$ 可分: 如果 $$X$$ 有一个可数的稠密子集, 则 $$X$$ 称为可分的.  可数意味着有限个或可列个.
  • 开覆盖: 设 $$Sigma=uu_(l in I){G_l}$$ 是 $$X$$ 的开集族, 若 $$M sub Sigma$$, 则 $$Sigma$$ 是 $$M$$ 的一个开覆盖.
  • 紧致集: 若 $$M$$ 的任意开覆盖都包含 $$M$$ 的有限开覆盖, 则 $$M$$ 为紧致集.
  • 收敛列: 设 $$X$$ 中的点列 $${x_n}$$, 若 $$X$$ 中存在点 $$x$$ 使得 $$lim_(x->oo) rho(x_n,x)=0$$, 则 $${x_n}$$ 是一个收敛列. 记作 $$x_n->x$$ 或 $$lim_(x->oo) x_n=x$$.
  • 柯西列(基本列): 对于一个点列 $${x_n}$$, 当 $$m,n->oo$$ 时, $$rho(x_m,x_n)->0$$. 则 $${x_n}$$ 是一个柯西列. 或称为柯西收敛.
  • 列紧集: 若 $$M$$ 中的任意点列都含有一个收敛子列收敛到 $$X$$ 中, 则 $$M$$ 为列紧集.
  • 自列紧集: 若列紧集中的收敛子列的极限在 $$M$$ 中, 则 $$M$$ 称为自列紧集, 或闭的列紧集为自列紧集.
  • 完备性: 若 $$M$$ 中的每个基本列都是收敛列, 则 $$M$$ 是完备的.
  • 有界子集: 若存在 $$x_0 in X$$ 和 $$r>0$$ 使得 $$M sub U(x_0,r)$$, 则称 $$M$$ 是有界子集.或 $$su\p_(x,y in M) d(x,y) <oo$$
  • $$epsilon$$ 网: 设 $$M$$, $$N$$ 是度量空间的两个子集, 且 $$N sup M$$,  $$AA epsilon >0$$, $$AA x in M$$, $$MM y in N$$, 使得 $$x in B(y,epsilon)$$, 则称 $$N$$ 是 $$M$$ 的一个 $$epsilon$$ 网, 如果 $$N$$ 是一个有限集, 则称 $$N$$ 是 $$M$$ 的一个有限 $$epsilon$$ 网.
  • 完全有界: 对 $$AA epsilon>0$$ 都存在 $$M$$ 的一个有限的 $$epsilon$$ 网, 则称集合 $$M$$ 是完全有界的.

度量空间的性质

  • 列紧空间是完备空间
  • 完全有界的空间是可分的
  • 完备空间的完全有界子集是列紧的

两两等价的交叉性定理:

  • $$M$$ 是自列紧的
  • $$M$$ 是紧致集
  • $$M$$ 是完全有界且是闭集
  • $$M$$ 是完全有界且是完备的
  • $$M$$ 是列紧的且是完备的
  • $$M$$ 是列紧的且是闭集

$$R^n$$ 空间子集的性质

  • 根据 $$R^n$$ 空间是完备的可得 $$R^n$$ 空间子集的性质满足完备度量空间子集的性质
  • 若集合 $$A$$ 是 $$R^n$$ 空间的子集, 则 $$A$$ 是有界集的充要条件是 $$A$$ 是完全有界的