矩阵


1. 设 $$RR^2$$ 上的一组基为 $$(x,y)=((1,0),(0,1))$$, 向量 $$xi$$ 的坐标为 $$(a_1,b_1)$$, 另一组基为 $$(u,v)$$, 向量 $$xi$$ 的坐标为 $$(a_2,b_2)$$, 则由基 $$(x,y)$$ 到 $$(u,v)$$ 的过渡矩阵

$$A=(u,v),$$

若已知任意两组基的过渡矩阵,坐标变换公式为

$${:(((a_1),(b_1))=A((a_2),(b_2))),(((a_2),(b_2))=A^(-1)((a_1),(b_1)).):}$$

若两组基都是标准正交基, 则过渡矩阵 $$A$$ 是正交矩阵, 则由 $$A\A^T=E$$ 可得

$$A^(−1)=A^T.$$

由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵, 可以理解为将一个向量分别在基向量上做投影,即一个基向量的转置与向量做内积,内积的结果就是投影的长度, 等于新的坐标。
对任意两组基,坐标变换的结果是以基向量的长度为单位的坐标。
2. 设线性变换 $$cc”A”$$ 在一组基下的矩阵是 $$A$$, 向量 $$xi$$ 在基下的坐标是 $$x$$, 则 $$cc”A”xi$$ 在基下的坐标为 $$Ax$$.
3. 实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的。

疑问:

坐标变换的意义是换个角度观察向量?
矩阵乘法的本质是坐标变换吗?
线性变换,特征向量与磁感线的关系?

A=matrix(c(3,2,2,6),2,2)
B=A
a=c(-1,-2)
aset=NULL
k=NULL
for(i in 1:100){
  B=B%*%t(A)
  tmp=B%*%a
  aset=cbind(aset,tmp)
  k=c(k,tmp[2]/tmp[1])
}
lamda=NULL
for(i in 1:99){
  lamda=cbind(lamda,aset[,i+1]/aset[,i])
}
lamda
k