积分公式

基本积分表

  • $$int1/xdx=ln|x|+C(x!=0)$$
  • $$intx^alphadx=x^(alpha+1)/(alpha+1)+C(alpha!=-1,x>0)$$
  • $$inte^xdx=e^x+C$$
  • $$inta^xdx=a^x/lna+C(a>0,a!=1)$$
  • $$intcosaxdx=1/asinax+C(a!=0)$$
  • $$intsinaxdx=-1/acosax+C(a!=0)$$
  • $$intsec^2xdx=tanx+C$$
  • $$intcsc^2xdx=-cotx+C$$
  • $$intsecx*tanxdx=secx+C$$
  • $$intcscx*cotxdx=-cscx+C$$
  • $$int1/sqrt(a^2-x^2)dx=arcsin{:x/a:}+C$$
  • $$int1/(1+x^2)dx=arctanx+C=-arc\cotx+C_1$$
  • $$int1/(x^2+a^2)dx=1/aarctan{:x/a:}+C$$
  • $$int1/(x^2-a^2)dx=1/(2a)ln|(x-a)/(x+a)|+C$$
  • $$inttanxdx=-ln|cosx|+C$$
  • $$int tan^2xdx=int(sec^2x-1)dx=tanx-x+C$$
  • $$int1/cosxdx=intsecxdx=ln|secx+tanx|+C$$
  • $$int1/sinxdx=ln|tan{:x/2:}|+C$$
  • $$inta^2/sqrt(x^2+a^2)dx=ln|x+sqrt(x^2+a^2)|+C$$

不定积分

  • 基本积分表
  • 换元积分
  • 分部积分
  • 有理函数的不定积分 Page195

    一般形式: $$R(x)=(P(x))/(Q(x))$$

    计算方法: 部分分式分解法(待定系数法)</P

  • 三角函数有理式的不定积分 Page196

    一般形式: $$intR(sinx,cosx)dx$$

    计算方法: 令 $$t=tan{:x/2:}$$,

    得$$sinx=(2t)/(t^2+1), cosx=(1-t^2)/(1+t^2), dx=2/(1+t^2)dt$$

  • 无理根式的不定积分 Page197

    情形一: $$intR(x,root(n)((ax+b)/(cx+d)))dx$$

    令 $$t=root(n)((ax+b)/(cx+d))$$

    情形二: $$intR(x,sqrt(ax^2+bx+c))dx$$

定积分应用

  • 变限积分求导

    $$Phi(x)=int_a^(alpha(x)) f(t)dt$$

    $$Phi'(x)=f(alpha(x))alpha'(x)$$

  • 平面图形面积

    参数方程:$$A=int_a^b y(t)dx(t)$$

    极坐标方程:$$A=1/2 int_alpha^beta r^2(theta)d{:theta:}$$  扇形面积:$$S=1/2r^2theta$$

  • 旋转体体积:

    $$V=piint_a^bf^2(x)dx$$

  • 弧长公式:

    $$s=int_alpha^beta sqrt(x^(‘2)(t)+y^(‘2)(t))dt$$

    极坐标:$$s=int_alpha^beta sqrt(r^2(theta)+r^(‘2)(theta))d{:theta:}$$

  • 曲率:

    $$K=(|x’y”-x”y’|)/(x^(‘2)+y^(‘2))^(3/2)$$

  • 旋转曲面面积:

    $$S=2pi int_alpha^beta y(t)sqrt(x^(‘2)(t)+y^(‘2)(t))dt$$

二重积分

  • 化累次积分

    $$intint_Df(x,y)dsigma=int_a^bdxint_(y_1(x))^(y_2(x))f(x,y)dy$$

  • 二重积分变量变换

    $$intint_Df(x,y)dxdy=intint_Delta f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|dudv$$

  • 极坐标变换

    $$intint_Df(x,y)dxdy=intint_Delta f(rcostheta,rsintheta)rdrd{:theta:}$$ Page251

  • 广义极坐标变换

    $$T: {(x=arcostheta),(y=brsintheta):}$$, $$J(r,theta)=abr$$

三重积分

  • 累次积分

    $$intintint_V f(x,y,z)dxdydz=intint_D dxdy int_(z_1(x,y))^(z_2(x,y)) f(x,y,z)dz$$ Page256

  • 三重积分换元法

    $$intintint_V f(x,y,z)dxdydz=intintint_V f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,,w))|J(u,v,w)|dudvdw$$

  • 柱面坐标变换

    $$T: {(x=rcostheta),(y=rsintheta),(z=z):}$$, $$J(r,theta,z)=r$$

    $$intintint_V f(x,y,z)dxdydz=intintint_(V’) f(rcostheta,rsintheta,z)rdrd{:theta:}dz$$

  • 球坐标变换

    $$T: {(x=rsinvarphicostheta),(y=rsinvarphisintheta),(z=rcosvarphi):}
    $$, $$J(r,varphi,theta)=r^2sinvarphi$$

    $$intintint_V f(x,y,z)dxdydz=intintint_(V’) f(rsinvarphicostheta,rsinvarphisintheta,rcosvarphi)r^2 drdvarphid{:theta:}$$

  • 重积分应用 (1).曲面面积是第一型曲面积分的特例 Page265. (2). 质心: $$barx=(intintxrho(x,y)dsigma)/(intintrho(x,y)dsigma)$$, Page269

第|型曲线积分(曲线质量问题)Page211

  • 参数方程 $${(x=varphi(t)),(y=psi(t)):}$$

    $$int_L f(x,y)ds=int_alpha^beta f(varphi(t),psi(t))sqrt(varphi^(‘2)(t)+psi^(‘2)(t))dt$$

  • 转动惯量: 线密度为$$rho(x,y)$$的曲线对$$x,y$$轴的转动惯量分别为

    $${:(J_x=int_L y^2rho(x,y)ds),(J_y=int_L x^2rho(x,y)ds):}$$

第||型曲线积分(变力做功)Page217

  • 积分形式 $$int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$

计算方法

  • 若 $$(delP(x,y))/(dely)=(delQ(x,y))/(delx)$$,得积分与路径无关(Page240),可选相互垂直的路径作为积分路线
  • 参数方程化定积分 $${(x=varphi(t)),(y=psi(t)):}$$

    $$int_L P(x,y)dx+-Q(x,y)dy=int_alpha^beta[P(varphi(t),psi(t))varphi'(t)+-Q(varphi(t),psi(t))psi'(t)]dt$$

  • 格林公式(区域D上封闭曲线的II型曲线积分与二重积分的联系)

    $$oint_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=intint_D((delQ(x,y))/(delx)-(delP(x,y))/(dely))dsigma$$

格林公式应用(区域D上封闭曲线的II型曲线积分与二重积分的联系)

  • 求原函数,曲线积分方法(Page236),四个等价条件(Page240)
  • 求面积

    $${(S=oint_Lxdy,ifQ=x,P=0),(S=oint_L-ydx,ifQ=0,P=y),(S=1/2oint_Lxdy-ydx,ifQ=x,P=y):}$$

第|型曲面积分(曲面质量)Page294

$$intint_(s)f(x,y,z)dS=intint_Df(x,y,z(x,y))sqrt(1+z_x^(‘2)+z_y^(‘2))dxdy$$

第||型曲面积分(曲面流量问题)Page298

计算公式

$$intint_(s)P(x,y,z)dydz=intint_DP(x(y,z),y,z)dydz$$

第|型与第||型曲面积分联系(Page303)

$${:(intint_(s)P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy),(=intint_D P(x,y,z(x,y))(-z_x’)+Q(x,y,z(x,y))(-z_y’)+R(x,y,z(x,y))dxdy):}$$

高斯公式(Page305,空间区域V上封闭||型曲面积分与三重积分的联系)

  • 公式:$$intint_(s)Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=intintint_V((delP)/(delx)+(delQ)/(dely)+(delR)/(delz))dxdydz$$
  • 应用:求体积

    令$$P=x,Q=y,z=z$$

    $$V=1/3intint_sxdydz+ydzdx+zdxdy$$

斯托克斯公式(Page307,空间区域V上双侧曲面S的||型曲面积分与S边界||型曲线积分的联系)

  • 公式

    $${:(oint_LPdx+Qdy+Rdz=),(intint_s((delR)/(dely)-(delQ)/(delz))dydz+((delP)/(delz)-(delR)/(delx))dzdx+((delQ)/(delx)-(delP)/(dely))dxdy):}$$

  • 四个等价条件(Page309)

    $$(delP)/(dely)=(delQ)/(delx),(delQ)/(delz)=(delR)/(dely),(delR)/(delx)=(delP)/(delz)$$

  • 应用:求原函数(Page310)