三角函数公式

导函数

  • $$(cscx)^’=-cscxcotx$$
  • $$(secx)^’=secxtanx$$
  • $$(tanx)^’=sec^2x$$
  • $$(cotx)^’=-csc^2x$$
  • $$(arcsinx)^’=1/sqrt(1-x^2)$$
  • $$(arccosx)^’=-1/sqrt(1-x^2)$$
  • $$(arctanx)^’=1/(1+x^2)$$
  • $$(arc\cotx)^’=-1/(1+x^2)$$
  • $$(tan^2x)^’=2tan{:1/x:}$$

二倍角公式

  • $$sin2x=2sinxcosx$$
  • $$cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x$$

  • $$tan2x=(2tanx)/(1-tan^2x)$$
  • $$sin^2x=(1-cos2x)/2$$
  • $$cos^2x=(1+cos2x)/2$$

三角函数不等式与恒等式

  • 若 $$x in (0,pi/2)$$, 则 $$sinx<x<tanx$$
  • 若 $$x in (0,pi/2)$$, 则 $$1<sinx+cosx<=sqrt(2)$$
  • $$|sinx|+|cosx|>=1$$
  • $$arctanx+arctan(1/x)=pi/2 (x>0)$$
  • $$arc tanx+arc cotx=pi/2$$
  • $$arc sinx+arc cosx=pi/2 (|x|<=1)$$

同角三角函数的基本关系式

  • $$cscx=1/sinx$$
  • $$secx=1/cosx$$
  • $$tanx=sinx/cosx$$
  • $$sin^2x+cos^2x=1$$
  • $$tanx * cotx=1$$
  • $$1+tan^2x=sec^2x$$
  • $$1+cot^2x=csc^2x$$
  • $$tan^2x=sec^2x-1$$

诱导公式

  • $$sin(pi/2-x)=cosx,cos(pi/2-x)=sinx$$
  • $$sin(pi/2+x)=cosx,cos(pi/2+x)=-sinx$$

三倍角公式

  • $$sin3x=3sinx-4sin^3x=4sinxsin(pi/3-x)sin(pi/3+x)$$

  • $$cos3x=4cos^3x-3cosx=4cosxcos(pi/3-x)sin(pi/3+x)$$

  • $$tan3x=(3tanx-tan^3x)/(1-3tan^2x)=tanxtan(pi/3-x)tan(pi/3+x)$$

半角公式

  • $$sin{:x/2:}=sqrt((1-cosx)/2)$$
  • $$cos{:x/2:}=sqrt((1+cosx)/2)$$
  • $$tan{:x/2:}=sqrt((1-cosx)/(1+cosx))=(1-cosx)/sinx=sinx/(1+cosx)$$

  • $$1+sinx=(sin{:x/2:}+cos{:x/2:})^2$$
  • $$1-sinx=(sin{:x/2:}-cos{:x/2:})^2$$

和差化积

  • $$sinx+siny=2sin{:(x+y)/2:}cos{:(x-y)/2:}$$
  • $$sinx-siny=2cos{:(x+y)/2:}sin{:(x-y)/2:}$$
  • $$cosx+cosy=2cos{:(x+y)/2:}cos{:(x-y)/2:}$$
  • $$cosx-cosy=-2sin{:(x+y)/2:}sin{:(x-y)/2:}$$
  • $$tanx+tany=sin(x+y)/(cosxcosy)$$

积化和差

  • $$sinxsiny=-1/2[cos(x+y)-cos(x-y)]$$
  • $$cosxcosy=1/2[cos(x+y)+cos(x-y)]$$
  • $$sinxcosy=1/2[sin(x+y)+sin(x-y)]$$
  • $$cosxsiny=1/2[sin(x+y)-sin(x-y)]$$

万能公式

  • $$sinx=(2tan{:x/2:})/(1+tan^2{:x/2:})$$
  • $$cosx=(1-tan^2{:x/2:})/(1+tan^2{:x/2:})$$
  • $$tanx=(2tan{:x/2:})/(1-tan^2{:x/2:})$$

和角与差角公式

  • $$sin(x+-y)=sinx cosy+-cosx siny$$
  • $$cos(x+-y)=cosxcosy∓sinxsiny$$
  • $$tan(x+-y)=(tanx+-tany)/(1∓tanxtany)$$
  • $$cot(x+-y)=(cotxcoty∓1)/(coty+-cotx)$$
  • $$sin(x+y)sin(x-y)=sin^2x-sin^2y$$
  • $$cos(x+y)cos(x-y)=cos^2x-sin^2y$$
  • $$asinx+bcosx=sqrt(a^2+b^2)(sinx*a/sqrt(a^2+b^2)+cosx*b/sqrt(a^2+b^2))=sqrt(a^2+b^2)sin(x+phi),tanphi=b/a$$

  • $$asinx-bcosx=sqrt(a^2+b^2)(sinx*a/sqrt(a^2+b^2)-cosx*b/sqrt(a^2+b^2))=sqrt(a^2+b^2)sin(x-phi),tanphi=b/a$$